Pitkän matematiikan lisäsivut
Pitkän matematiikan lisäsivut 4-6 julkaistaan elokuussa 2025!
Sarjan neljäs osa käsittelee analyyttistä ja hieman klassistakin geometriaa eri ulottuvuuksissa. Tutustumme neliulotteiseen avaruuteen ja korkeampiin ulottuvuuksiin luvuissa 1 ja 2, ja sovellamme käyttöön otettuja tekniikoita luvussa 3, joka käsittelee Cauchyn–Schwarzin epäyhtälöä. Luvussa 4 käsitellään summausmerkintä. Luvut 5 ja 6 esittelevät korrelaation ja RGB-värien avulla avaruuksia, joissa koordinaatit eivät kuvaa paikkoja vaan esimerkiksi värejä. Luvut 7 ja 8 kattavat kartioleikkausten teorian perusteet ensin klassisen geometrian ja sitten analyyttisen geometrian työkaluin.
Pitkän matematiikan lisäsivut 3 pureutuu tasogeometrian saloihin. Keskiössä ovat geometrian todistukset ja kauniit tulokset, ja ihmettelyn aiheina muun muassa kolmion merkillisiä pisteitä, pisteen potenssi, Eulerin suora ja yhdeksän pisteen ympyrä. Keskeiset käsitteet on määritelty sanastossa.
Pitkän matematiikan lisäsivut 2 keskittyy algebraan. Tutuiksi tulevat binomikertoimet, kompleksiluvut ja klassiset keskiarvot. Erityistä huomiota kiinnitetään epäyhtälöihin ja niiden sovelluksiin.
Pitkän matematiikan lisäsivut 1 johdattaa matemaattisen ajattelun eri muotoihin. Täsmälliseen päättelyyn perehdytään laatoitusten, Ramseyn teorian, äärettömyyksien sekä lukujonojen parissa.
Kokoelma pulmatehtäviä harjaannuttaa luovaa ongelmanratkaisutaitoa.
Peliteoria on matematiikan ja sosiaalitieteiden puolimatkassa majaileva ala, jonka tutkimuskohde on paljon perinteisiä pelejä laajempi. Peliteoria tutkii konfliktitilanteita, joiden osapuolilla on osittain tai kokonaan yhteensovittamattomia tavoitteita. Esimerkiksi politiikka, sodankäynti, talouselämän kilpailutilanteet tai vaikkapa pokeri tarjoavat runsaasti aineistoa peliteorialle.
Kirjan tavoite on esitellä peliteorian perusajatuksia ymmärrettävässä muodossa. Kirjan keskeiset ajatukset voi ymmärtää, vaikka matematiikan sivuuttaisikin kokonaan.
Kurssimonisteita
Kurssimonisteet eivät ole yhtä hiottua materiaalia kuin yllä esitellyt kirjat.
Kurssimoniste geometrian syventävään lukiokurssiin. Pohjatiedoiksi riittää hyvin hallittu peruskoulun oppimäärä. Lukion valtakunnallisen geometrian kurssin hallitseminen on eduksi, mutta tarvittavat tiedot esitellään kyllä monisteen alkupuolella.
Tämä on kurssimoniste Helsingin matematiikkalukion kurssille Matriisilaskenta.
Sen tavoitteena on esitellä matriisien perusteet ja joitakin sovelluksia.
Matriisit ovat mainio ja monipuolinen työkalu monenlaiseen matematiikkaan,
joten niiden tunteminen on eduksi. Kurssi pysyttelee lähellä käytännön
sovelluksia, ja aiheeseen luontevasti liittyvä vektoriavaruuksien teoria
on sivuutettu.
Koska kurssi kuuluu Matematiikkalukiossa ensimmäisen lukiovuoden ohjelmaan,
esitietovaatimuksena oletetaan vain peruskoulun oppimäärä ja kelvollinen
mekaaninen laskutaito. Lukion vektorilaskennan ja analyyttisen geometrian
hallitseminen on hyödyksi, mutta ei välttämätöntä.
Kerhomateriaaleja
Alla on Maunulan yhtekoulun ja Helsingin matematiikkalukion Harppi-hankkeen materiaaleja lukioiden matematiikkakerhoja varten. Kunkin materiaalin pitäisi tarjota puuhaa noin 2h matematiikkakerhoa varten. Monet materiaaleista eivät vaadi peruskoulua suurempia ennakkotietoja.
Opettajat voivat tilata muokattavat versiot materiaaleista, malliratkaisut ja opettajan ohjeet osoitteesta ville.tilvis@mayk.fi.
Heroin kaava kertoo kolmion alan, kun kolmion sivut tunnetaan. Heronin kolmiot puolestaan ovat kolmioita, joiden piiri ja pinta-ala ovat molemmat kokonaislukuja. Materiaalissa esitellään myös Super-Heronin kolmiot.
Kombinatoriset pelit ovat vuoropohjaisia täydellisen informaation pelejä, joissa ei
ole satunnaisuutta. Tällaisia pelejä ovat esimerkiksi jätkänshakki, ristinolla, mylly, tammi,
neljän suora, othello, owari, Blokus, xiangqi, shakki, shogi, go, kiinanshakki ja Arimaa.
Tämä materiaali sisältää runsaan kokoelman yksinkertaisia kombinatoria pelejä, joissa toisella pelaajalla on lyhyesti kuvailtavissa oleva voittostrategia. Strategioiden löytäminen voi kuitenkin olla yllättävän vaikeaa!
Klassinen logiikkapulmien teema on ympäristö, jossa osa ihmisistä puhuu aina totta ja
osa valehtelee aina. Nämä pulmat kehitti huippunsa loogikko Raymond Smullyan mainiossa
kirjassaan Mikä tämän kirjan nimi on? vuodelta 1978. Kirja kertoo kelmien ja
ritarien saaresta, jonka jokainen asukas on joko kelmi tai ritari. Ritarit puhuvat vai tosia
lauseita ja kelmit vain epätosia lauseita.
Kenguru-matematiikkakilpailu on tunnettu persoonallisista, päättelyä vaativista tehtävistä, joista ensimmäiset ovat hyvin helppoja ja viimeiset jo varsin vaikeita.
Seuraavaan materiaaliin on poimittu 24 arkistojen helmeä vuosien 2011 – 2024 Kenguru kilpailujen lukiolaisten Student-sarjasta.
Materiaali: kengurut
Lisätietoja Kenguru-kilpailusta: https://kengurukilpailu.fi
Maailman vanhimmat korkeakulttuurit syntyivät Lähi-idän suurissa jokilaaksoissa. Kun yhteiskunta monimutkaistui, syntyi tarve merkitä asioita muistiin. Kirjoituksen kanssa samaa tahtia kehittyi laskento, sillä ensimmäisenä merkittiin muistiin nimenomaan talouteen liittyviä asioita: veroluetteloita ja työntekijöiden palkkoja. Vanhimmat tekstit on kirjoitettu sumerin kielellä n. 3000 eaa, sittemmin valtakieleksi tuli samalla kirjoitusjärjestelmällä kirjoitettu akkadi, jonka tunnetuimmat murteet babylonia ja assyria ovat myös alueen myöhempien kulttuuripiirien/valtakuntien nimiä. Tuoreimmat nuolenpäätekstit on kirjoitettu ajanlaskun alun jälkeen: kirjoitusjärjestelmää käytettiin yli 3000 vuotta.
Mesopotamia – suunnilleen nykyisen Irakin alue – on luonnoltaan melko köyhää. Ainoa kirjoitusmateriaaliksi sopiva materiaali, jota oli yllin kyllin tarjolla, oli savi. Nuolenpääkirjoitusta kirjoitettiin painelemalla merkit ruokotikulla kosteaan saveen. Kuivuessaan savesta tulee kestävää, ja säilyy jopa vuosituhansia. Nykypäiviin saakka on säilynyt vähintään satojatuhansia, mahdollisesti jopa yli miljoona savitaulua. Teksteissä on niin kaunokirjallisuutta, diplomaattisia kirjeitä, uskonnollisia tekstejä kuin arkipäiväistä kirjeenvaihtoa, kuitteja, sopimuksia – ja matematiikkaa.
Valehteluun liittyvät pulmat ovat viehättäneet ihmiskuntaa pitkään. Varhaisena mainintana
Eubulides Miletoslaisen (300-luku eaa) kerrotaan keksineen valehtelijan paradoksin:
”Minä valehtelen nyt.” Onko väite tosi vai ei?
Tämä materiaali sisältää paradokseja ja niitä sivuavia logiikkapulmia.
Materiaali johdattaa Platonin kappaleiden ja Eulerin monitahokaslauseen saloihin.
Polyominot ovat neliöistä koostuvia kuvioita, joilla on runsaasti mielenkiintoisia matemaattisia ominaisuuksia. Moni peli, kuten Tetris ja Blokus, perustuvat polyominoihin.
Milloin 1 + 1 ei olekaan kaksi? Jakojäännösluokilla laskiessa jotkin tutut laskusäännöt pätevät ja toiset eivät. Materiaali johdattelee ensiaskelia kohti abstraktia algebraa.
Materiaali esittelee solmuteorian alkeet tehtäväkokoelmana.
Kelttiläisten solmujen rakenne on matemaattisesti mielenkiintoinen. Tässä lyhyessä materiaalissa löydetään vihjeiden avulla eräs kelttisolmuihin liittyvä säännönmukaisuus.
Kultainen leikkaus eli jako jatkuvassa suhteessa tarkoittaa seuraavaa: janalla oleva piste jakaa janan kahteen osaan 𝑎 ja 𝑏 niin, että pidemmän osan 𝑎 suhde lyhyempään osaan 𝑏 on sama kuin koko janan 𝑎+𝑏 suhde pidempään osaan 𝑎.
Materiaali tutkailee kultaisen leikkauksen yhteyttä lukujonoihin.
Monia summakaavoja, kuten vaikkapa aritmeettisen summan kaava 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2, voidaan perustella elegantisti kuvien avulla. Tämä materiaali sisältää tyylikkäitä geometrisia todistuksia erinäisille summakaavoille.
Materiaalista on kaksi versiota, joista tulostukseen tarkoitetussa on kuvissa paksummat viivat.
Teksti keskittyy symmetrian esittämiseen matemaattisena käsitteenä, erityisesti
sen ilmenemiseen geometrisissa kuvioissa. Geometriassa symmetria tyypillisesti tarkoittaa
sitä, että annettu objekti tai kuvio on muuttumaton (eli invariantti) tietynlaisen
geometrisen muodonmuutoksen alla.
Tapettikuviot ovat erityisnimi tietynlaisille itseään toistaville tasokuvioille. Nimi tulee
kirjaimellisesti siitä, miten seinien tapeteilla esiintyvät kuviot ovat tyypillisesti
tapettikuvioita.
Kirjasarja Pitkän matematiikan lisäsivut ovat itseopiskelumateriaalia niille, jotka kaipaavat haasteita ja haluavat laajentaa matematiikan osaamistaan lukio-oppimäärän ulkopuolelle. Lisäsivuihin on valittu aihepiirejä, joita lukiossa ei yleensä kohtaa, mutta joihin matematiikasta innostuneen voisi olla kiintoisaa ja palkitsevaa tutustua.
Kirjoja kehitetään niistä saadun palautteen perusteella. Pitkän aikavälin tavoitteena on kehittää hiottu pitkää matematiikkaa tukevoittava materiaali, jonka kuka tahansa lukiolainen voi suorittaa valtakunnallisten matematiikan kurssien rinnalla. Voit antaa palautetta tällä lomakkeella.
Tältä sivulta löydät myös muita Maunulan yhteiskoulussa kehitettyjä materiaaleja, kuten kurssimonisteita ja kerhomateriaaleja.