Pähkinöitä

Tälle sivulle on poimittu yleisen aivovoimistelun edistämiseksi muutamia mielenkiintoisia (eli vaikeita) ongelmia, joita on käsitelty matematiikkalukiolaisten kanssa viime aikoina.

Kysymyksiin vastaa matematiikan lehtori Ville Tilvis (etunimi.sukunimi@edu.hel.fi).

Neljä torakkaa

Neljä pistemäistä torakkaa seisovat neliön kärjissä ja lähtevät sitten yhtä aikaa liikkeelle. Kukin torakka kulkee koko ajan kohti edessään olevaa torakkaa. Kohtaavatko torakat koskaan?

Näkemys 1: Kyllä, koska ne päätyvät koko ajan lähemmäs toisiaan.
Näkemys 2: Eivät, koska ne eivät koskaan kulje suoraan kohti neliön keskustaa.

Miten on?
 

Etana ja ilmapallo

Etana kulkee pitkin ilmapallon pintaa nopeudella 1 cm/s. Ilmapalloon puhalletaan jatkuvasti ilmaa, ja sen säde kasvaa nopeudella 1 m/s. Ilmapallon säde on alussa 1 m.

Pääseekö etana koskaan täyttä kierrosta pallon ympäri?

Näkemys 1: Ei, koska kuljettu matka kasvaa nopeammin kuin etana etenee.
Näkemys 2: Kyllä, koska etanan taivaltama kulma kasvaa koko ajan, joskin hitaasti.

Sata vankia ja hehkulamppu

Sata vankia kootaan saliin, jossa vankilan johtaja kertoo heille seuraavaa:

”Huomenna teidät jaetaan sataan eristysselliin, ettekä enää näe toisianne. Kerran päivässä arvomme teistä satunnaisesti yhden (arpa voi osua samalle monta kertaa), joka viedään kellarihuoneeseen. Huoneessa on hehkulamppu, jonka voitte laittaa päälle tai pois päältä. Sitten palaatte selliinne. Seuraavan päivän vanki näkee lampun siinä tilassa, mihin se on jätetty.”

”Kun joku teistä on varma siitä, että kaikki vangit ovat käyneet lamppuhuoneessa ainakin kerran, hän saa ilmoittaa tämän ja kaikki pääsevät vapaaksi. Jos ilmoittaja kuitenkin on väärässä, kaikki tapetaan. Ainoa tapanne kommunikoida on tuo yksi hehkulamppu.”

Vangeilla on päivä aikaa sopia strategiastaan ennen kuin heidät erotetaan. He eivät halua ottaa pienintäkään riskiä, mutta tahtovat toki pois vankilasta. Keksi keino, jolla he ennemmin tai myöhemmin voivat olla varmoja siitä, että kaikki ovat käyneet lamppuhuoneessa ainakin kerran.

Ratkaisu on olemassa, eikä tämä ole kompa.

Janan jako

On tunnettua, että kulmaa on mahdoton jakaa kolmeen yhtä suureen osaan vain harppia ja viivainta käyttämällä (joitakin helppoja erikoistapauksia lukuun ottamatta). Janan jako kolmeen osaan näillä työkaluilla on sen sijaan mahdollista.

Kuinka monta erilaista tapaa keksit?